Question

20．設點A（1，1），點B，C在橢圓x²+3y²=4上，求S_△ABC的最大值，并求出取得最大值時直線BC的方程．

Answer 1

分析 利用結論：一般地，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的內接△ABC的最大面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab．當且僅當△ABC的重心G為坐標原點O時，面積取得最大值．

解答 解：下面利用結論：一般地，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的內接△ABC的最大面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ab．當且僅當△ABC的重心G為坐標原點O時，面積取得最大值．
∵a=2，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，且A點在橢圓上，
∴S_max=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=3．當△ABC的重心為坐標原點時，可得直線BC的中點為$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），${x}_{1}^{2}+3{y}_{1}^{2}=4$，${x}_{2}^{2}+3{y}_{2}^{2}$=4，
相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+3（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_BC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{3}$．
∴直線BC的方程為：y-$（-\frac{1}{2}）$=-$\frac{1}{3}$$[x-（-\frac{1}{2}）]$，化為x+3y+2=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式、中點坐標公式，考查了利用重要結論解決問題的方法、推理能力與計算能力，屬于難題．