Question

已知函數f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）判斷并證明函數的單調性；
（2）若函數為f（x）奇函數，求實a數的值；
（3）在（2）的條件下，若對任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（-t²-t）＞0恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）函數f（x）為R上的增函數，結合作差法和指數函數的單調性可證得結論；
（2）由函數為f（x）奇函數得f（0）=a-1=0，進而得到實a數的值；
（3）結合函數的奇偶性和單調性可將不等式f（t²+2）+f（-t²-t）＞0化為t²+2＞t²+t，解得實數t的取值范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）為R上的增函數．證明如下：
證明：函數f（x）的定義域為R，對任意x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
因為y=2^x是R上的增函數，且x₁＜x₂，
所以2x1-2x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函數f（x）為R上的增函數，
（2）∵函數f（x）為奇函數，
∴f（0）=a-1=0，
∴a=1，
（3）∵f（t²+2）+f（-t²-t）＞0對任意的t∈R恒成立，
∴f（t²+2）＞-f（-t²-t），
∵函數f（x）為奇函數，
∴-f（-t²-t）=f（t²+t），
∴f（t²+2）＞f（t²+t）
又∵f（x）在R上為增函數，
∴t²+2＞t²+t，
∴t＜2，
∴實數t的取值范圍為（-∞，2）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，利用函數的性質解不等式，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．