Question

5．根據(jù)已知條件求方程：
（1）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是（-1，0），（1，0），并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，-$\frac{3}{2}$），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦點(diǎn)，且離心率e=$\frac{5}{4}$的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，代入點(diǎn)（1，-$\frac{3}{2}$），解方程可得a，b，進(jìn)而得到所求橢圓方程；
（2）求出橢圓的焦點(diǎn)，可得雙曲線的c=5，運(yùn)用離心率公式可得a=4，進(jìn)而得到b=3，即可得到雙曲線的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的焦點(diǎn)為（±5，0），
即有雙曲線的c=5，
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
且a²+b²=25，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解得a=4，b=3，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率公式和焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．