Question

3．如圖，已知圓M：x²+（y-2）²=1，Q是x軸上的動點，QA，QB分別與圓M切于點AB．
（1）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程；
（2）若Q點的坐標為（-2，0），求：
①△AQB外接圓的方程；
②直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)P是AB的中點，可求得|MP|，進而利用射影定理可知|MB|²=|MP|•|MQ|求得|MQ|，進而利用勾股定理在Rt△MOQ中，求得|OQ|則Q點的坐標可得，進而可求得MQ的直線方程．
（2）①由題意，△AQB外接圓是以QM為直徑的圓，圓心為（-1，1），半徑為$\sqrt{2}$，可得△AQB外接圓的方程；
②（x+1）²+（y-1）²=2與x²+（y-2）²=1相減可得直線AB的方程．

解答 解：（1）由P是AB的中點，|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
可得|MP|=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$．
由射影定理，得|MB|²=|MP|•|MQ|，得|MQ|=3．
在Rt△MOQ中，|OQ|=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故Q點的坐標為（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0）．
所以直線MQ的方程是$2x+\sqrt{5}y-2\sqrt{5}$=0或$2x-\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．
（2）①由題意，△AQB外接圓是以QM為直徑的圓，圓心為（-1，1），半徑為$\sqrt{2}$，
∴△AQB外接圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=2；
②（x+1）²+（y-1）²=2與x²+（y-2）²=1相減可得直線AB的方程為2x+2y-3=0．

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，求軌跡方程問題．解題過程中靈活利用了射影定理．