Question

13．已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁=1且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$（n∈N^*且n≥2），則a₈₁=640．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$，由此可得數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式后可得S_n，再由a₈₁=S₈₁-S₈₀求解．

解答 解：由已知S_n$\sqrt{{S}_{n-1}}$-S_n-1$\sqrt{{S}_{n}}$=2$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，可得$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}（\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}）=2\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}$，
∵a_n＞0，
∴$\sqrt{{S}_{n}{S}_{n-1}}＞0$，
則$\sqrt{{S}_{n}}-\sqrt{{S}_{n-1}}=2$，
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
故$\sqrt{{S}_{n}}$=2n-1，即S_n=（2n-1）²，
∴a₈₁=S₈₁-S₈₀=161²-159²=640．
故答案為：640．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．