Question

5．已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對任意的a，b∈R都滿足：f（a•b）=af（b）+bf（a），若f（2）=2，U_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求U_l，U₂，U₃的值．     
（2）求證：U_n+1＞U_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），然后分別取n為1，2，3求得U_l，U₂，U₃的值．
（2）由（1）猜測f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*），然后利用數學歸納法證得結論，再由${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$證得U_n+1＞U_n．

解答 （1）解：令a=2，b=2^n-1（n∈N^*），
當n=1時，${U}_{1}=f（2）=2=1×{2}^{1}$，
當n=2時，${U}_{2}=f（2×2）=f（{2}^{2}）=2f（2）+2f（2）=2×{2}^{2}$，
當n=3時，${U}_{3}=f（2×{2}^{2}）=2f（{2}^{2}）+{2}^{2}f（2）=3×{2}^{3}$，
∴U₁=2，U₂=8，U₃=24；
（2）由（1）猜測f（2ⁿ）=n×2ⁿ（n∈N^*）．
用數學歸納法證明如下：
①當n=1時，f（2）=1×2，結論成立；
②假設n=k時結論成立，即f（2^k）=k×2^k，
當n=k+1時，f（2^k+1）=f（2×2^k）=2f（2^k）+2^kf（2）=2×k×2^k+2^k×2=k×2^k+1+2^k+1=（k+1）×2^k+1．
∴n=k+1時，結論成立．
由①②可知，對n∈N^*，
f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴${U}_{n}=f（{2}^{n}）=n×{2}^{n}（n∈{N}^{*}）$．
要證明U_n+1＞U_n，只需證明${U}_{n+1}-{U}_{n}＞0（n∈{N}^{*}）$，
∵${U}_{n+1}-{U}_{n}=（n+1）•{2}^{n+1}-n•{2}^{n}={2}^{n}（n+2）＞0$，
∴U_n+1＞U_n．

點評 本題考查數列的函數特性，考查了利用數學歸納法證明與自然數有關的命題，正確理解題意，合理設出a，b的值是解答該題的關鍵，屬中高檔題．