Question

17．已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足$f（\frac{x_1}{x_2}）=f（{x_1}）-f（{x_2}）$，且當(dāng)x＞1時，f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性并予以證明；
（Ⅲ）若f（3）=-1，解不等式f（x²）＞-2．

Answer 1

分析 （1）由條件令x₁=x₂，則f（1）=0；（2）由單調(diào)性定義，設(shè)0＜x₂＜x₁，則$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，由x＞1時，f（x）＜0，即有f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＜0，即可求得單調(diào)性（3）關(guān)鍵函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合f（x²）＞f（9），得到關(guān)于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂＞0，代入得f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，故f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，則$\frac{x_1}{x_2}＞1$，由于當(dāng)x＞1時，f（x）＜0，
所以$f（\frac{x_1}{x_2}）＜0$，即f（x₁）-f（x₂）＜0，因此f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）由$f（\frac{x_1}{x_2}）=f（{x_1}）-f（{x_2}）$得$f（\frac{9}{3}）=f（9）-f（3）$，而f（3）=-1，所以f（9）=-2．
由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，且f（x²）＞f（9），
得0＜x²＜9，∴-3＜x＜0或0＜x＜3，因此不等式的解集為（-3，0）∪（0，3）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意運用定義，同時考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于基礎(chǔ)題．