Question

10．若函f（x）=sin²ax-sinaxcosax（a＞0）的圖象與直y=m（m＞0）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列．
（Ⅰ）m的值；
（Ⅱ）若A（x₀，y₀）y=f（x）圖象的對(duì)稱中心，x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，求A的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降冪，然后利用兩角和的正弦化積，由題意可得m為f（x）的最大值，則m的值可求；
（Ⅱ）由題意可得函數(shù)f（x）的周期為$\frac{π}{2}$，從而求得a=2，代入函數(shù)解析式，由相位的終邊落在x軸上得答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin²ax-sinaxcosax=$\frac{1-cos2ax}{2}-\frac{1}{2}sin2ax$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2ax+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$，
由題意知，m為f（x）的最大值，∴m=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的周期為$\frac{π}{2}$，∴a=2，
∴$f（x）=-\frac{\sqrt{2}}{2}sin（4x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
令$sin（4x+\frac{π}{4}）=0$，得$4x+\frac{π}{4}=kπ$（k∈Z），∴$x=\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}$（k∈Z），
由0$≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}≤\frac{π}{2}$（k∈Z），得k=1或k=2，
因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（\frac{3π}{16}，\frac{1}{2}）$或$（\frac{7π}{16}，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)最值的求法，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．