Question

11．設(shè)π＜α＜2π，向量$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow$=（sinα，2cosα），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-2sinα）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求α；
（2）若|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量模的計(jì)算、三角函數(shù)的值的符號(hào)，即可求出答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（-2，1），$\overrightarrow$=（sinα，2cosα），$\overrightarrow{c}$=（cosα，-2sinα），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴-2sinα+2cosα=0，
∴tanα=1，
∵π＜α＜2π，
∴α=$\frac{5}{4}$π；
（2）由|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{3}$，得|$\overrightarrow$|²+|$\overrightarrow{c}$|²+$\overrightarrow$$\overrightarrow{c}$=3，
∴5-6sinαcosα=3，
∴2sinαcosα=$\frac{2}{3}$，
∴sinα與cosα同號(hào)，
∵π＜α＜2π，
∴π＜α＜$\frac{3π}{2}$，
∴sinα＜0，cosα＜0，
∴sinα+cosα＜0，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1+$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴sinα+cosα=-$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量的模、三角函數(shù)的值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．