【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）若有極大值，求的取值范圍；

（3）若在處取極大值，證明：.

【答案】（1）見(jiàn)證明 （2）（3）見(jiàn)證明

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可證明不等式；

（2）由題設(shè)得.由有極大值得有解，且.利用極大值定義即可建立a的不等關(guān)系；

（3）由（2）知：當(dāng)時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn), 且，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證明.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，，，

令，則.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，.

∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，，即.

（2）解：由題設(shè)得.由有極大值得有解，且.

令，則.由得.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴.

當(dāng)，即時(shí)，，即，此時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)，即時(shí)，

∴，.

由（1）知：，即.

∴存在，，使.

∴當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，

即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增.

∴是唯一的極大值點(diǎn).

綜上所述，所求的取值范圍為.

（3）證明：由（2）知：當(dāng)時(shí)，有唯一的極大值點(diǎn),

且，故，

由（2）知：.

當(dāng)時(shí)，，由（2）知：在上單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時(shí)，，即.

∴當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】定義在上的函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：

①若是偶函數(shù)，則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

②若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

③若，且，則的一個(gè)周期為2；

④與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；

其中正確命題的序號(hào)為________

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① 函數(shù) 必過(guò)定點(diǎn)；

② 函數(shù)可能過(guò)點(diǎn)；

③ 若 ，則函數(shù)為偶函數(shù)；

④ 對(duì)于任意的一組數(shù)、、…、，一定存在各不相同的個(gè)數(shù)、、…、使得在上為增函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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（1）求圓心C的軌跡E的方程；

（2）若直線l交E與P，Q兩點(diǎn)，且線段PQ的中心點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），求|PQ|．

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【題目】如圖，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，且（a為常數(shù)），下列結(jié)論中正確的是（ ）

A.當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

B.當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)

C.當(dāng)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)

D.當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)總是有限個(gè)

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（2）若點(diǎn)M（，）在橢圓C上，不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線OM相交于點(diǎn)N，且N是線段AB的中點(diǎn)，求△OAB面積的最大值．

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年份

2014

2015

2016

2017

2018

投資金額/萬(wàn)元

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

年利潤(rùn)增長(zhǎng)量/萬(wàn)元

6.0

7.0

9.0

11.0

12.0

（1）記年利潤(rùn)增長(zhǎng)量投資金額，現(xiàn)從2014年至2018年這5年中抽出兩年進(jìn)行調(diào)查分析，求所抽兩年都是萬(wàn)元的概率；

（2）請(qǐng)用最小二乘法求出關(guān)于的回歸直線方程；如果2019年該企業(yè)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)改進(jìn)的投資金額為10萬(wàn)元，試估計(jì)該企業(yè)在2019年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)量為多少？

參考公式：，；

參考數(shù)據(jù)：，.

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