Question

14．已知拋物線C₁：y²=4x的焦點(diǎn)到雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，則雙曲線C₂的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），
雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為bx+ay=0，
則焦點(diǎn)到漸近線的距離d=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有b²=$\frac{1}{2}$a²，
則c²=$\frac{3}{2}$a²，
即有雙曲線的離心率為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．