Question

16．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，且對n∈N^*，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}+2（n+1）}{n+2}$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{[n-（-1）^{n}]{a}_{n}}$，證明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通過計算出前幾項的值猜想通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）通過（1）可知b_n=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{3}{n-（-1）^{n}}$，利用放縮放縮法可知b_2n-1+b_2n＜$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）（n≥3），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，a₂=$\frac{{a}_{1}+2（1+1）}{1+2}$=$\frac{1+4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
a₃=$\frac{2{a}_{2}+2（2+1）}{2+2}$=$\frac{2•\frac{5}{3}+6}{4}$=$\frac{7}{3}$，
a₄=$\frac{3{a}_{3}+2（3+1）}{3+2}$=$\frac{3•\frac{7}{3}+8}{5}$=3=$\frac{9}{3}$，
猜想：a_n=$\frac{2n+1}{3}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時，有a_k=$\frac{2k+1}{3}$，
則a_k+1=$\frac{k{a}_{k}+2（k+1）}{k+2}$=$\frac{\frac{k（2k+1）}{3}+2（k+1）}{k+2}$=$\frac{（2k+3）（k+2）}{3（k+2）}$=$\frac{2（k+1）+1}{3}$，
即當(dāng)n=k+1時，命題也成立；
由①、②可知，a_n=$\frac{2n+1}{3}$；
（2）證明：由（1）可知b_n=$\frac{1}{[n-（-1）^{n}]{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$•$\frac{3}{n-（-1）^{n}}$，
∴b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{3}{5}$，b₃=$\frac{3}{28}$，$_{4}=\frac{1}{9}$，$_{5}=\frac{1}{22}$，$_{6}=\frac{3}{65}$，
∵b_2n-1+b_2n=$\frac{1}{4n-1}$•$\frac{3}{2n}$+$\frac{1}{4n+1}$•$\frac{3}{2n-1}$
＜6（$\frac{1}{4n-2}$•$\frac{1}{2n-2}$）
＜$\frac{3}{4}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$）（n≥3），
∴b₁+b₂+…+b_2n-1+b_2n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{n-1}$）＜2，
∴b₁+b₂+…+b_n＜2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查放縮法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．