Question

11．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x-2|}（x≠2）}\\{1（x=2）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）等于$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，得到這5個(gè)根x₁，x₂，…，x₅ 也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，利用函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答 解：作出f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
由圖象知當(dāng)t=1時(shí)，方程t=f（x）有3個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1或t＞1時(shí)，方程t=f（x）有2個(gè)根，
則方程f²（x）+bf（x）+c=0等價(jià)為t²+bt+c=0，
則方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
則等價(jià)為方程t²+bt+c=0有兩個(gè)根t₁=1或0＜t₂＜1或t₂＞1，
可得這5個(gè)根x₁，x₂，…，x₅ 也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴x₁+x₂+…+x₅ =10，
∴f（x₁+x₂+…+x₅）=f（10）=$\frac{1}{|10-2|}$=$\frac{1}{8}$，
故答案為：$\frac{1}{8}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，得出5個(gè)根也關(guān)于直線x=2對(duì)稱，從而求得x₁+x₂+…+x₅ =10，屬于中檔題．