Question

18．已知橢圓x²+8y²=8，在橢圓上求一點P，使P到直線l：x-y+4=0的距離最小，并求出最小值．

Answer 1

分析 設(shè)直線x-y+m=0與橢圓相切于點P（x₀，y₀），與橢圓方程聯(lián)立9x²+16mx+8m²-8=0，令△=0，解得m，再利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：設(shè)直線x-y+m=0與橢圓相切于點P（x₀，y₀），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+8{y}^{2}=8}\\{x-y+m=0}\end{array}\right.$，化為9x²+16mx+8m²-8=0，
令△=（16m）²-36（8m²-8）=0，解得m=±3，
取m=3，
解得x=$-\frac{8}{3}$，y=$\frac{1}{3}$．
∴P$（-\frac{8}{3}，\frac{1}{3}）$．
點P到直線l：x-y+4=0的距離d=$\frac{|-\frac{8}{3}-\frac{1}{3}+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴要求的P$（-\frac{8}{3}，\frac{1}{3}）$到直線l：x-y+4=0的距離最小，其最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了直線與橢圓相切問題、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．