Question

13．（文科生做）已知圓x²+y²+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點(diǎn)，
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）求以PQ為直徑且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓心到直線的距離小于半徑，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意得OP、OQ所在直線互相垂直，即k_OP•k_OQ=-1，亦即x₁x₂+y₁y₂=0，根據(jù)P、Q在直線l上可變?yōu)殛P(guān)于y₁、y₂的表達(dá)式，聯(lián)立直線方程、圓的方程，消掉x后得關(guān)于y的二次方程，將韋達(dá)定理代入上述表達(dá)式可得m的方程，解出即可．

解答 解：（1）圓x²+y²+x-6y+m=0，可化為（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=-m+$\frac{37}{4}$，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$＜$\sqrt{-m+\frac{37}{4}}$，
∴-m+$\frac{37}{4}$＞$\frac{5}{4}$，
∴m＜8；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則k_OP•k_OQ=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
又因?yàn)閤₁=3-2y₁，x₂=3-2y₂，
所以（3-2y₁）（3-2y₂）+y₁y₂=0，即5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0①，
將直線l的方程：x=3-2y代入圓的方程得：5y²-20y+12+m=0，
所以y₁+y₂=4，y₁y₂=$\frac{12+m}{5}$，
代入①式得：5×$\frac{12+m}{5}$-6×4+9=0，解得m=3，
故實(shí)數(shù)m的值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線與圓相交于點(diǎn)P、Q，并且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，求參數(shù)的值．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．