Question

5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PA}$取得最小值時(shí)，$\frac{CP}{CB}$的值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用平面向量的數(shù)量積與余弦定理，求出$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$取最小值時(shí)AP=DP，求出P是AD的中垂線和BC的交點(diǎn)，從而求出CP的值和$\frac{CP}{CB}$的值．

解答 解：如圖所示，
梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=|$\overrightarrow{PD}$|•|$\overrightarrow{PA}$|cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$，
∴$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$=$\frac{{AP}^{2}{+DP}^{2}-1}{2}$≥$\frac{2AP•DP-1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)AP=DP，取“=”；
即P是AD的中垂線和BC的交點(diǎn)時(shí)，$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PA}$最��；
此時(shí)，CP=$\frac{3}{2}$，CB=2，∴$\frac{CP}{CB}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理與平面向量的數(shù)量積公式以及基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．