Question

8．設函數(shù)f（x）=x|x-1|+m．
（1）當m=-2時，解關于x的不等式f（x）＞0．
（2）當m＞1時，求函數(shù)y=f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，去掉絕對值號，解不等式即可；（2）先去掉絕對值號再結合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）x＞1時：f（x）=x²-x-2＞0，解得：x＞2或x＜-1，故x＞2；
x≤1時：f（x）=x-x²-2＞0，不等式無解；
綜上：不等式的解集是（2，+∞）；
（2）x∈[0，1]時：f（x）=x（1-x）+m=-${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+m+$\frac{1}{4}$，
當x=$\frac{1}{2}$時：f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$，
當x（1，m]時：f（x）=x（x-1）+m=${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+m-$\frac{1}{4}$，
∵函數(shù)f（x）在（1，m]遞增，
∴f（x）_max=f（m）=m²，
由m²≥m+$\frac{1}{4}$得：m²-m-$\frac{1}{4}$≥0，又m＞1，故m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}，m≥\frac{1++\sqrt{2}}{2}}\\{m+\frac{1}{4}，1＜m＜\frac{1+\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$．

點評 本題考察了解絕對值不等式問題，考察二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．