Question

15．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…構(gòu)成首項(xiàng)a₁=1等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比q=2的等比數(shù)列，且a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，a₄，a₅，a₇成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，設(shè)a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差為d，求出$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，繼而得到通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由題意：$\left\{\begin{array}{l}a_2^2={a_1}{a_3}\\ 2{a_5}={a_4}+{a_7}\end{array}\right.$，
設(shè)a₁，a₃，a₅，…a_2k-1，…的公差為d，
則a₃=1+d，a₅=1+2d，a₇=1+3d，a₄=2a₂，代入$\left\{\begin{array}{l}a_2^2=1（1+d）\\ 1+d=2{a_2}\end{array}\right.$，
又a₂＞0，
故解得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\ d=3\end{array}\right.$，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{3n-1}{2}，n為奇數(shù)\\{2^{\frac{n}{2}}}，n為偶數(shù)\end{array}\right.$；
（Ⅱ）${S_{2n}}=\frac{n（1+3n-2）}{2}+\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}=\frac{{3{n^2}-n}}{2}+{2^{n+1}}-2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．