Question

15．已知直線l：x-y+c=0（c∈R），⊙M：（x-2）²+（y-2）²=1，直線l把⊙M分成兩段圓弧，弧長(zhǎng)之比為λ，其中$\frac{1}{2}$＜λ＜1，則c={c|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0}．

Answer 1

分析 由題意可得弦對(duì)的圓心角大于120°而小于180°，即弦心距d大于0而小于$\frac{1}{2}$，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得0＜$\frac{|2-2+c|}{\sqrt{2}}$＜$\frac{1}{2}$，由此求得c的范圍．

解答 解：由題意可得，當(dāng)λ=$\frac{1}{2}$時(shí)，弦對(duì)的圓心角等于120°；當(dāng)λ=1時(shí)，弦對(duì)的圓心角等于180°．
故弦對(duì)的圓心角大于120°而小于180°．
當(dāng)圓心角等于120°時(shí)，弦心距d=$\frac{1}{2}$，當(dāng)圓心角等于180°時(shí)，弦心距d=$\frac{1}{2}$．
故弦心距d大于0而小于$\frac{1}{2}$，即0＜$\frac{|2-2+c|}{\sqrt{2}}$＜$\frac{1}{2}$，求得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0，
故答案為：{c|-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜c＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且 c≠0}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．