Question

7．已知△ABC中，AB=BC=3，AC=4，點(diǎn)O是其內(nèi)心，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值是2．

Answer 1

分析 以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式求解即可．

解答 解：由題意，以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，由于AB=BC=3，AC=4，則A（-2，0），C（2，0），
故B（0，$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$）=（0，$\sqrt{5}$），
則$\overrightarrow{AB}$=（2，$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（4，0），$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{5}$），O（0，y）
因?yàn)辄c(diǎn)O在∠ABC的平分線上，所以$\overrightarrow{AO}$與$\overrightarrow{AB}$及$\overrightarrow{AC}$的單位向量的和向量共線．
設(shè)這個(gè)和向量為$\overrightarrow{u}$，則$\overrightarrow{u}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$$+\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{5}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$），$\overrightarrow{AO}$=（x，y），
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，x=2，y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=2×2-$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4-2=2，
故答案為；2

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)，考查平面向量基本定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題，關(guān)鍵是運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)用算求解．