Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，側(cè)面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F(xiàn)為SD的中點．
（1）求三棱錐S﹣FAC的體積；
（2）求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，三棱錐S﹣FAC的體積=三棱錐S﹣DAC的體積的一半．

取AB的中點O，連接SO，則SO⊥底面ABCD，SO= ，

∵S△DAC= = ，

∴三棱錐S﹣FAC的體積= =

（2）解：連接OD，OC，則OC=OD= ，∴SC=SD=3，

△SAD中，SA=AD=2，F(xiàn)為SD的中點，∴AF= = ．

△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF= ，

△FAC中，cos∠AFC= = ，

∴sin∠AFC= ，

∴S△AFC= × × × =

設D到平面AFC的距離為h，則 ，∴h= ，

∴直線BD與平面FAC所成角的正弦值 ÷ =

【解析】（1）由題意，三棱錐S﹣FAC的體積=三棱錐S﹣DAC的體積的一半，取AB的中點O，連接SA，利用體積公式求三棱錐S﹣FAC的體積；（2）求出D到平面AFC的距離，即可求直線BD與平面FAC所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．