Question

14．設(shè)$\overrightarrow{i}$，$\overrightarrow{j}$是平面直角坐標(biāo)系中x軸和y軸正方向上的單位向量，$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{i}$+6$\overrightarrow{j}$，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 根據(jù)向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，判斷四邊形ABCD是矩形，結(jié)合向量坐標(biāo)求出對(duì)應(yīng)長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=4$\overrightarrow{i}$-2$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AC}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{i}$+6$\overrightarrow{j}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=7$\overrightarrow{i}$+4$\overrightarrow{j}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
則$\overrightarrow{AB}$=（4，-2）$\overrightarrow{AC}$=（7，4），$\overrightarrow{AD}$=（3，6），
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=（4，-2）•（3，6）=12-12=0，
即$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AD}$，則AB⊥AD，
即四邊形ABCD是矩形，
則|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
則四邊形ABCD的面積為$2\sqrt{5}×3\sqrt{5}=30$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的應(yīng)用，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系判斷四邊形是矩形是解決本題的關(guān)鍵．