Question

15．現(xiàn)有四個不同的球，4個不同的大盒子，要把球全部放入盒內(nèi)．（每個盒子都可以放多個球）
（1）共有幾種放法？
（2）恰有1個盒不放球，共幾種放法？
（3）恰有2個盒不放球，共幾種放法？
（4）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共幾種放法？
（5）有1個盒內(nèi)部少于3個球，共幾種放法？

Answer 1

分析 （1）每個球都有4種方法，故根據(jù)分步計數(shù)原理可求
（2）由題意知需要先選兩個元素作為一組再排列，恰有一個盒子中有2個小球，從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．
（3）四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球的不同放法的求法，分為兩步來求解，先把四個球分為兩組，再取兩個盒子，作全排列，由于四個球分兩組有兩種分法，一種是2，2，另一種是3，1，故此題分為兩類來求解，再求出它們的和；
（4）“恰有一個盒內(nèi)有2個球”，即另外的三個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，即另外三個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，
（5）1個盒內(nèi)部少于3個球，反之是有1個盒內(nèi)部等于3個球，有C₄¹A₄³C₃¹=144種，沒有限制條件的放法為256種，問題得以解決．

解答 解：（1）每個球都有4種方法，故有4×4×4×4=256種 
（2）四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子中，恰有一個空盒，說明恰有一個盒子中有2個小球，
從4個小球中選兩個作為一個元素，同另外兩個元素在三個位置全排列，故共有C₄²A₄³=144種不同的放法．
 （3）四個球分為兩組有兩種分法，（2，2），（3，1）
若兩組每組有兩個球，不同的分法有3種，恰有兩個盒子不放球的不同放法是3×A₄²=36種
若兩組一組為3，一組為1個球，不同分法有C₄³=4種恰有兩個盒子不放球的不同放法是4×A₄²=48種
綜上恰有兩個盒子不放球的不同放法是36+48=84；
（4）“恰有一個盒內(nèi)有2個球”，即另外的三個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，即另外三個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有一個盒子放2球”與“恰有一個盒子不放球”是一回事，共有C₄²A₄³=144種放法，
（5）有1個盒內(nèi)部少于3個球，反之是有1個盒內(nèi)部等于3個球，有C₄¹A₄³C₃¹=144種，
每個球都有4種方法，故有4×4×4×4=256種，
故有1個盒內(nèi)部少于3個球為256-144=112種，

點評 本題考查察排列、組合的實際應(yīng)用，解題的過程中注意這種有條件的排列要分兩步走，先選元素再排列．理解事件“四個不同的球全部放入4個不同的盒子內(nèi)，恰有兩個盒子不放球”，宜先將四個球分為兩組，再放入，分步求不同的放法種數(shù)．