Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|（x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命題p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；q：函數(shù)y=（m²-3）^x是增函數(shù)，若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用絕對值不等式的性質，即可得到所求最小值；
（Ⅱ）先求出p真q真的m的范圍，再由“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p，q一真一假，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1，
當（x-1）（x-2）≤0，即1≤x≤2時，取得等號，
即函數(shù)f（x）的最小值為1；
（Ⅱ）由關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立，
即有1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1；
函數(shù)y=（m²-3）^x是增函數(shù)，即有m²-3＞1，解得m＞2或m＜-2．
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p，q一真一假，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-3≤m≤1}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞1或m＜-3}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得-2≤m≤1或m＞2或m＜-3．

點評 本題考查絕對值函數(shù)的最值的求法，考查復合命題的真假判斷以及函數(shù)恒成立思想和指數(shù)函數(shù)的單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．