Question

9．設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列有關(guān)等邊三角形的四項敘述：
①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，則△ABC是等邊三角形
②若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，則△ABC是等邊三角形
③若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，則△ABC是等邊三角形
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$，則△ABC是等邊三角形
其中，正確敘述的序號是②③④．

Answer 1

分析 ①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，由正弦定理可知：任意△ABC都滿足條件，即可判斷出正誤；
②由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，可得tanA=tanB=tanC，即可判斷出結(jié)論．
③由正弦定理可得：$\frac{sinA}{tanA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{tanC}$，cosA=cosB=cosC，即可得出結(jié)論．
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$，可得$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$，通過分類討論，A，B，C$≠\frac{π}{3}$時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$））的單調(diào)性即可得出結(jié)論．

解答 解：①若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，由正弦定理可知：任意△ABC都滿足條件，因此不一定是等邊三角形，不正確；
②若$\frac{a}{cosA}$=$\frac{cosB}$=$\frac{c}{cosC}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，∴tanA=tanB=tanC，∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形，正確．
③若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，由正弦定理可得：$\frac{sinA}{tanA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{tanC}$，∴cosA=cosB=cosC，∵A，B，C∈（0，π），∴A=B=C，∴△ABC是等邊三角形，正確．
④若$\frac{a}{A}$=$\frac{B}$=$\frac{c}{C}$，∴$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$，A=B=C=$\frac{π}{3}$時，△ABC是等邊三角形；A，B，C$≠\frac{π}{3}$時，研究函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{x}$（x∈（0，$\frac{π}{2}$））的單調(diào)性，f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-tanx）cosx}{{x}^{2}}$，$0＜x＜\frac{π}{2}$時，x＜tanx，∴函數(shù)f（x）在$（0，\frac{π}{2}）$上單調(diào)遞減，因此$\frac{sinA}{A}$=$\frac{sinB}{B}$=$\frac{sinC}{C}$不成立．綜上可得：△ABC是等邊三角形，正確．
其中，正確敘述的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了正弦定理、三角形內(nèi)角和定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．