Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，變形為：$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{3}}{（{a}_{n}-1）^{3}}$，令$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=b_n，b₁=3．可得$_{n+1}=_{n}^{3}$，兩邊取對(duì)數(shù)可得：lgb_n+1=3lgb_n，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}+1}{\frac{{a}_{n}（{a}_{n}^{2}+3）}{3{a}_{n}^{2}+1}-1}$=$\frac{（{a}_{n}+1）^{3}}{（{a}_{n}-1）^{3}}$，
令$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=b_n，b₁=3．
則$_{n+1}=_{n}^{3}$，
兩邊取對(duì)數(shù)可得：lgb_n+1=3lgb_n，
∴數(shù)列{lgb_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為lg3，公比為3．
∴l(xiāng)gb_n=3^n-1lg3，
∴b_n=${3}^{{3}^{n-1}}$．
∴$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}-1}$=${3}^{{3}^{n-1}}$．
解得a_n=$\frac{{3}^{{3}^{n-1}}+1}{{3}^{{3}^{n-1}}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“取對(duì)數(shù)方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．