Question

19．在拋物線y²=16x上任取一點P，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D，當P在拋物線上運動時，線段PD的中點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）設O為原點，過點（1，0）的直線l與曲線C交于A、B兩點，求△AOB的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設出M點的坐標，由M為線段PD的中點得到P的坐標，把P的坐標代入y²=16x整理得線段PD的中點M的軌跡．
（2）設直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程，利用韋達定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1））設M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵M為線段PD的中點，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在y²=16x上，∴y₁²=16x，
∴4y²=16x，即y²=4x．
（2）設直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程，可得：y²-4my-4=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16{m}^{2}+16}$≥2，m=0時取等號，
∴m=0時，△AOB的面積最小值為2．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，訓練了利用代入法求曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析解決問題的能力，是中檔題．