Question

14．函數(shù)f（x）=（|x|-1）（x+a）為奇函數(shù)，則a=0，f（x）減區(qū)間為$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意求出函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0，列出方程求出a的值，再化簡函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的圖象畫出函數(shù)的圖象，再求出函數(shù)的減區(qū)間．

解答 解：因為f（x）的定義域是R，且f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
則f（0）=（0-1）（0+a）=-a=0，解得a=0，
所以f（x）=x（|x|-1）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x≥0}\\{-{x}^{2}-x，x＜0}\end{array}\right.$，
在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象：
由圖可得，函數(shù)f（x）的減區(qū)間是$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$，
故答案為：0；$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．

點評 本題考查奇函數(shù)的結(jié)論：f（0）=0的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的單調(diào)性，注意奇函數(shù)在原點有意義才能用此結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．