Question

10．已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上，且AB⊥x軸，AC∥x軸，則$\frac{|AC|•|AB|}{|BC{|}^{2}}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的頂點(diǎn)的位置首先判斷三角形是直角三角形，進(jìn)一步利用基本不等式求出結(jié)果．

解答 解：已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上，且AB⊥x軸，AC∥x軸，
則：△ABC為直角三角形．
AB²+AC²=BC²
利用基本不等式：$\left|AC\right|\left|AB\right|≤\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}}{2}$，
所以：$\frac{|AC|•|AB|}{|BC{|}^{2}}≤\frac{\frac{{AB}^{2}+{AC}^{2}}{2}}{{AB}^{2}+{AC}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)等號(hào)成立）．
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的應(yīng)用能力．