Question

19．如圖，有一塊矩形空地ABCD，要在這塊空地上開辟一個內(nèi)接四邊形EFGH為綠地，使其四個頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設(shè)AE=x，綠地EFGH面積為y．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出它的定義域；
（2）當(dāng)AE為何值時，綠地面積y最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）求得S_△AEH=S_△CGF=$\frac{1}{2}$x²，S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x），利用y=S_ABCD-2（S_△AEH+S_△BEF），化簡即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知y=-2x²+（a+2）x的圖象為開口向下、對稱軸是x=$\frac{a+2}{4}$的拋物線，比較$\frac{a+2}{4}$與2的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即得結(jié)論．

解答 解：（1）由AE=AH=CF=CG，
依題意，S_△AEH=S_△CGF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}$（a-x）（2-x），
則y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x，
由題意$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{a-x＞0}\\{2-x≥0}\\{a＞2}\end{array}\right.$，解得：0＜x≤2，
∴y=-2x²+（a+2）x，其中定義域?yàn)椋?，2]；
（2）∵y=-2x²+（a+2）x的圖象為拋物線，其開口向下、對稱軸是x=$\frac{a+2}{4}$，
∴y=-2x²+（a+2）x在（0，$\frac{a+2}{4}$）遞增，在（$\frac{a+2}{4}$，+∞）上遞減．
若$\frac{a+2}{4}$＜2，即a＜6，則x=$\frac{a+2}{4}$時，y取最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$；
若$\frac{a+2}{4}$≥2，即a≥6，則y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2是增函數(shù)，
故當(dāng)x=2時，y取最大值2a-4；
綜上所述：若a＜6，則AE=$\frac{a+2}{4}$時綠地面積取最大值$\frac{（a+2）^{2}}{8}$；
若a≥6，則AE=2時綠地面積取最大值2a-4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．