Question

15．在四棱錐P-ABCD中，四條側棱長均為2，底面ABCD為正方形，E為PC的中點．若異面直線PA與BE所成的角為45°．則該四錐的體積是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 設底面中心為O，則∠OEB為異面直線PA與BE所成的角，根據線面垂直及勾股定理可求出底面邊長和棱錐的高．

解答 解：設底面ABCD的中心為O，連結PO，OE，AC，BD，則O是AC的中點，
∴OE∥PA，OE=$\frac{1}{2}$PA=1．∴∠BEO是異面直線PA，BE所成的角，即∠BEO=45°．
∵四棱錐的四條側棱長均為2，底面ABCD為正方形，
∴PO⊥平面ABCD，OB⊥OC，
∴PO⊥OB，
∴OB⊥平面PAC，∴OB⊥OE．
∴△BOE是等腰直角三角形，∴OB=OE=1．
∴BC=$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}×B{C}^{2}×PO$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，空間角的作法，體積計算，屬于中檔題．