Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點與它的左、右兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2$\sqrt{2}$，且它的離心率與雙曲線x²-y²=2的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，點A為橢圓上一動點（非長軸端點），AF₁的延長線與橢圓交于點B，AO的延長線與橢圓交于點C．
①當(dāng)直線AB的斜率存在時，求證：直線AB與BC的斜率之積為定值；
②求△ABC面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）易知2a=2$\sqrt{2}$，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而解得；
（2）①設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則C（-x_A，-y_A），從而設(shè)直線BA的方程為y=k（x+1），聯(lián)立方程化簡（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，從而可得x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，y_A+y_B=k$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，從而證明．
②分情況討論以分別確定△ABC的面積的取值范圍，從而解得．

解答 解：（1）由橢圓的定義知2a=2$\sqrt{2}$，
雙曲線x²-y²=2的離心率為$\sqrt{2}$，
故橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1；
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①證明：設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），則C（-x_A，-y_A），
設(shè)直線BA的方程為y=k（x+1），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化簡得，
（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
y_A+y_B=k（x_A+x_B）+2k=k（-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$+2）=k$\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，
∴k_ABk_BC=k•$\frac{{y}_{B}+{y}_{A}}{{x}_{B}+{x}_{A}}$=$\frac{2{k}^{2}}{-4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$；
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時，
可知A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故S_△ABC=$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線AB的斜率存在時，由①知，
x_A+x_B=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x_Ax_B=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
故|x_A-x_B|=$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=$2\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，
故|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_A-x_B|
=$2\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，
點C到直線AB的距離d=$\frac{|k（-{x}_{A}+1）+{y}_{A}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•（$2\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$）•$\frac{2|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
=2$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}（{k}^{2}+1）}{（2{k}^{2}+1）^{2}}}$
=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{4（2{k}^{2}+1）^{2}}}$＜$\sqrt{2}$，
故△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$，此時AB的方程為x+1=0．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用，關(guān)鍵在于化簡運算．