Question

20．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-x₀）（x₀＞0），⊙C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）寫出⊙C的普通方程；
（2）若l與⊙C相切于點(diǎn)P，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，試求點(diǎn)P的一個極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1即可得出；
（2）直線l$x-\sqrt{3}y-{x}_{0}$=0與⊙C相切于點(diǎn)P，可得$\frac{|1-{x}_{0}|}{2}$=1，解得x₀．可得切線方程，與圓C方程聯(lián)立即可解出．

解答 解：（1）⊙C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），則（x-1）²+y²=1．
（2）∵直線l$x-\sqrt{3}y-{x}_{0}$=0與⊙C相切于點(diǎn)P，
∴$\frac{|1-{x}_{0}|}{2}$=1，解得x₀=-1或3．
∴直線l方程為：y=$\sqrt{3}$（x+1），y=$\sqrt{3}$（x-3）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+1=0}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得切點(diǎn)P$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，化為極坐標(biāo)：P$（1，\frac{π}{3}）$；
$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y-3=0}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得切點(diǎn)P$（\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，化為切點(diǎn)P$（3，\frac{5π}{6}）$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相切問題、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．