Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角的正切為-$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$的夾角的正切為-$\frac{1}{3}$，|$\overrightarrow$|=2，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$的值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 可設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，由題意可得tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，由兩角和的正切公式，可得tanA，再由同角的基本關(guān)系式可得sinB，sinC，再由正弦定理可得AB，AC，由數(shù)量積的定義即可得到所求值．

解答 解：可設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，
由題意可得tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{1}{3}$，
則tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=-$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=-1，
即為A=135°，
又B，C為銳角，sin²B+cos²B=1，$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{1}{2}$，
可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
同理可得sinC=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得$\frac{2}{sin135°}$=$\frac{|\overrightarrow{c}|}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$，
即有|$\overrightarrow{c}$|=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$|•cos45°=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量的定義，考查正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．