Question

11．已知拋物線y²=4px（p＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，點A是兩曲線的交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線和雙曲線有相同的焦點求得p和c的關(guān)系，根據(jù)AF⊥x軸可判斷出|AF|的值和A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程與p=c，b²=c²-a²聯(lián)立求得a和c的關(guān)系式，然后求得離心率e．

解答 解：∵拋物線的焦點和雙曲線的焦點相同，
∴p=c
∵A是它們的一個公共點，且AF垂直x軸，
設(shè)A點的縱坐標(biāo)大于0，
∴|AF|=2p，
∴A（p，2p），
∵點A在雙曲線上，
∴$\frac{{p}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{p}^{2}}{^{2}}$=1，
∵p=c，b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
化簡得：c⁴-6c²a²+a⁴=0，
∴e⁴-6e²+1=0，
∵e²＞1，
∴e²=3+2$\sqrt{2}$
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題主要考查關(guān)于雙曲線的離心率的問題，屬于中檔題，本題利用焦點三角形中的邊角關(guān)系，得出a、c的關(guān)系，從而求出離心率．