Question

12．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$．
（1）解關于x的不等式f（x）≥0．
（2）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式可化為$\frac{x-2a}{ax}$≤0，分類討論可得；
（2）f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立等價于f（x）+2x的最小值≥0，由基本不等式可得．

解答 解：（1）由f（x）=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$≥0可得$\frac{x-2a}{ax}$≤0，
①當a＞0時解集為{x|0＜x≤2a}，
②當a＜0時解集為{x|x≤2a或x＞0}；
（2）當x＞0時f（x）+2x=-$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{x}$+2x≥-$\frac{1}{a}$+2$\sqrt{\frac{2}{x}•2x}$=-$\frac{1}{a}$+4，
當且僅當$\frac{2}{x}$=2x即x=1時等號成立；
若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立等價于-$\frac{1}{a}$+4≥0，
解不等式可得a的取值范圍為a＜0或a≥$\frac{1}{4}$

點評 本題考查分式不等式的解集，涉及分類討論的思想和基本不等式求最值，屬基礎題．