Question

4．已知定義在R上的函數(shù)$f（x）={（\frac{1}{2}）^{|x-m|}}-1$（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log_0.53），b=f（log₂5），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）

• A． a＜b＜c
• B． b＜a＜c
• C． c＜a＜b
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為偶函數(shù)便可求出m=0，從而f（x）=$\frac{1}{2}$^|x|-1，這樣便知道f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，便可將自變量的值變到區(qū)間[0，+∞）上：a=f（|log_0.53|），b=f（log₂5），c=f（0），然后再比較自變量的值，根據(jù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性即可比較出a，b，c的大小．

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)；
∴f（-x）=f（x）；
∴$\frac{1}{2}$^|-x-m|-1=$\frac{1}{2}$^|x-m|-1；
∴|-x-m|=|x-m|；
（-x-m）²=（x-m）²；
∴mx=0；
∴m=0；
∴f（x）=$\frac{1}{2}$^|x|-1；
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，并且a=f（|log_0.53|）=f（log₂3），b=f（log₂5），c=f（0）；
∵0＜log₂3＜log₂5；
∴c＞a＞b．
故選：B．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，計算能力，屬于中檔題．