Question

20．已知F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、焦點，過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，當∠PF₁F₂=45°時，求雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 先將x=c帶人雙曲線方程，求出y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，而根據(jù)∠F₁PF₂=45°知道△PF₁F₂為等腰直角三角形，從而得到4c²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，通過該式即可求得該雙曲線的漸近線方程．

解答 解：如圖，
由x=c與$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1聯(lián)立得，y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$；
∵∠F₁PF₂=45°；
∴|F₁F₂|=|PF₂|；
∴4c²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$；
∴4（a²+b²）a²=b⁴；
∴4a⁴+4a²b²-b⁴=0；
∴（$\frac{a}$）⁴-4（$\frac{a}$）²-4=0，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$．
∴此雙曲線的漸近線方程為y=±$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$x．

點評 考查雙曲線的標準方程，雙曲線的焦點及焦距，一元二次方程的求根公式，雙曲線的漸近線方程的概念及求法．