Question

5．已知A，B是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1實軸的兩個頂點(diǎn)，P是雙曲線上的任意一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，則該雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，結(jié)合k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
∴k_PA•k_PB=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴e²=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$是解題的關(guān)鍵．