Question

9．已知△ABC的內(nèi)角為A、B、C，其對(duì)邊分別為a、b、c，B為銳角，向量$\overrightarrow{m}$=（2sin B，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos²$\frac{B}{2}$-1，cos 2B），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$；
（1）求角B的大��；
（2）如果b=2，A=$\frac{5π}{12}$，求邊長c．

Answer 1

分析 （1）由m⊥n可得2sin B•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos 2B=0，利用三角函數(shù)恒等變換可得2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0（或tan2B=-$\sqrt{3}$）結(jié)合B為銳角即可解得B的值．
（2）由三角形內(nèi)角和定理可求C，由正弦定理即可求得c=$\frac{bsinC}{sinB}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）m⊥n⇒2sin B•（2cos²$\frac{B}{2}$-1）+$\sqrt{3}$cos 2B=0…（2分）
⇒sin 2B+$\sqrt{3}$cos 2B=0…（3分）
⇒2sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0  （或tan2B=-$\sqrt{3}$）（B為銳角）…（4分）
⇒2B=$\frac{2π}{3}$⇒B=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，A=$\frac{5π}{12}$，∴C=$\frac{π}{4}$…（8分）
由正弦定理$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$…（10分）
∴c=$\frac{bsinC}{sinB}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，熟練掌握和靈活應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．