Question

4．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2ⁿ-1，則數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和T_n為$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由S_n=2ⁿ-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2^n-1-1，兩式相減可知a_n=2^n-1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：由S_n=2ⁿ-1，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2^n-1-1，
兩式相減得：a_n=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)成立，
∴數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式：a_n=2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n²}為首項(xiàng)為1，4為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故答案為：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．