Question

16．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：BD∥平面EFG；
（Ⅱ）若AD=CD，AB=CB，求證：AC⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證BD∥面EFG，只需通過E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，證明BD平行于面EFG內(nèi)的直線FG，即可．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，只要證明AC⊥平面BHD，由線面垂直的性質(zhì)可證．

解答 （Ⅰ）證明：∵E、F、G分別是AB、BC、CD的中點(diǎn)，
∴FG∥BD，
又∵FG?面EFG，BD?面EFG．
∴BD∥面EFG．
（2）取AC中點(diǎn)H，連結(jié)DH，BH，
在△ACD中，因?yàn)锳D=CD，H是AC中點(diǎn)，所以DH⊥AC
同理可證，BH⊥AC
∵BH∩DH=H，
∴AC⊥平面BHD
∵BD?平面BHD，
∴AC⊥BD．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查了線面平行的判定和線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理，正確運(yùn)用．�？碱}型．