Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）若a=1，求y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）的單凋區(qū)間；
（3）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，當(dāng)a≤0，a≥2，0＜a＜2時(shí)，由單調(diào)性可得最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-alnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$，
由a=1可得f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
即有在x=1處的切線的斜率為1，切點(diǎn)為（1，1），
則切線的方程為y-1=x-1，即為y=x；
（2）f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-a}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{\sqrt{2a}}{2}$；由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{\sqrt{2a}}{2}$．
即有f（x）的增區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）；
（3）由（2）可得a≤0時(shí)，f（x）在[1，+∞）遞增，可得f（1）取得最小值，且為1；
當(dāng)a＞0時(shí)，若a≥2，即$\frac{\sqrt{2a}}{2}$≥1，即有f（x）在（1，$\frac{\sqrt{2a}}{2}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{2a}}{2}$，+∞）遞增，
即有x=$\frac{\sqrt{2a}}{2}$處取得最小值，且為$\frac{a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$；
若0＜a＜2時(shí)，即$\frac{\sqrt{2a}}{2}$＜1，即有f（x）在（1，+∞）遞增，
即有x=1處取得最小值，且為1．
綜上可得a＜2時(shí)，f（x）的最小值為1；a≥2時(shí)，f（x）的最小值為$\frac{a}{2}$-$\frac{a}{2}$ln$\frac{a}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查分類討論的思想方法，注意單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．