Question

11．已知a，b，c滿足$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$+c=0，f（x）=ax²+bx+c
（1）如果a≠0，證明af（$\frac{1}{2}$）＜0；
（2）如果a=0，試判別方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)是否有解，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$+c=0，a≠0，證可將af（$\frac{1}{2}$）化為$-\frac{{a}^{2}}{12}$，進而得到結(jié)論；
（2）根據(jù)$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$+c=0，a=0，分b=0和b≠0兩種情況，討論方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)根的存在性，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 證明：（1）∵f（x）=ax²+bx+c，
∴af（$\frac{1}{2}$）=a（$\frac{a}{4}$+$\frac{2}$+c）=a（$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$+c$-\frac{a}{12}$）=$-\frac{{a}^{2}}{12}$，
又∵a≠0，
∴af（$\frac{1}{2}$）＜0；
解：（2）若a=0，則f（x）=bx+c，且$\frac{2}$+c=0，
若b=0，則c=0，f（x）=0在（0，1）上恒成立；此時方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有無數(shù)個解；
若b≠0，則b=-2c≠0，
則f（0）f（1）=c（b+c）=-c²＜0，
則f（x）在（0，1）內(nèi)有唯一的零點，
即方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有一解，
綜上，方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)有解．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．