Question

1．已知A，B，D三點不在一條直線上，且A（-2，0），B（2，0），|AD|=2，點E是BD的中點．
（1）求E點軌跡方程；
（2）已知橢圓C中心在原點，以A，B為焦點，過A作直線交C于M，N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為$\frac{4}{5}$，且直線MN與E點的軌跡相切，求橢圓C方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)E（x，y），坐標(biāo)原點O為線段AB的中點，點E是BD的中點，故OE是△ABD的中位線，由AD=2，知E點在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，由此能求出E點的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），橢圓的方程，由l與圓相切可得k²值，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y并代入k²值，可用a表示出由中點坐標(biāo)公式及MN的中點到y(tǒng)軸的距離為$\frac{4}{5}$，可得a的方程，解出即可．

解答 解：（1）設(shè)E（x，y），
∵坐標(biāo)原點O為線段AB的中點，點E是BD的中點，
∴OE是△ABD的中位線，
∵AD=2，∴OE=1，
∴E點在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，
∵A，B，D三點不在一條直線上，
∴E點不能在x軸上，
∴E點的軌跡方程是x²+y²=1（y≠0）．
（2）易知直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），①
又設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，②
a²-b²=4，
因為直線l：kx-y+2k=0與圓x²+y²=1相切．
故$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得k²=$\frac{1}{3}$．將①代入②整理得，（a²k²+a²-4）x²+4a²k²x+4a²k²-a⁴+4a²=0，③
將k²=$\frac{1}{3}$代入上式，
整理得（a²-3）x²+a²x-$\frac{3}{4}{a}^{4}$+4a²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-3}$=-2×$\frac{4}{5}$，解得a²=8
故所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查直線方程、圓的方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求較高．