Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E為PB的中點．
（1）證明：CE⊥AB；
（2）若二面角P-CD-A為60°，求直線CE與平面PAB所成角的正切值；
（3）若AB=kPA，求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點F，連結(jié)EF、FC，則EF∥PA，CF∥AD，從而EF⊥AB，AB⊥CF，由此能證明CE⊥AB．
（2）推導(dǎo)出PA⊥CD，CD⊥PD，則∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，由此能求出直線CE與平面PAB所成角的正切值．
（3）過P作PG∥CD，推導(dǎo)出∠APD為所求銳二面角的平面角，由此能求出平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AB中點F，連結(jié)EF、FC，則EF∥PA，CF∥AD，
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，∴EF⊥AB，
∵AB⊥AD，∴AB⊥CF，
∵EF?平面EFC，CF?平面EFC，∴AB⊥平面EFC，
∵CE?平面EFC，∴CE⊥AB．
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∴∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，
∴∠PDA=60°，∴PA=$\sqrt{3}AD$，
∵AB=AD=2CD，∴PA=$\sqrt{3}AB$=$\sqrt{3}AD$，
由（1）知，∠CEF為CE于平面PAB所成角，
∵tan∠CEF=$\frac{CF}{EF}$=$\frac{AD}{EF}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}•2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴直線CE與平面PAB所成角的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（3）過P作PG∥CD，由PA⊥平面PAD，得PA⊥AB，PA⊥PG，
由BA⊥平面PAD，得CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，PG⊥PD，
∴∠APD為所求銳二面角的平面角，
cos$∠APD=\frac{PA}{PD}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．