Question

17．已知圓C：x²+y²-2x+6y=0（a∈R）的圓心在直線2x-y+a=0上．
（1）求實(shí)數(shù)a的值．
（2）求圓C與直線l：（2m+1）x+（m+1）y-m=0（m∈R）相交弦長最小值．

Answer 1

分析 （1）圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心，代入直線2x-y+a=0，求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）求出直線過定點(diǎn)（1，-1），可得圓心與定點(diǎn)的距離為2，即可求出弦長最小值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-2x+6y=0可化為（x-1）²+（y+3）²=10，圓心為（1，-3），半徑為$\sqrt{10}$，
∵圓C：x²+y²-2x+6y=0的圓心在直線2x-y+a=0上，
∴2+3+a=0，
∴a=-5；
（2）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-m=0（m∈R）可化為（2x+y-1）m+（x+y）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-1=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，∴x=1，y=-1，即直線過定點(diǎn)（1，-1），
圓心與定點(diǎn)的距離為2，∴弦長最小值為2$\sqrt{10-4}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求得直線過定點(diǎn)是關(guān)鍵．