Question

2．已知常數(shù)a＞0，函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³-4（1-a）x，g（x）=ln（ax+1）-$\frac{2x}{x+2}$．
（1）討論f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）若f（x）在（-$\frac{1}{a}$，+∞）上存在兩個極值點x₁、x₂，且g（x₁）+g（x₂）＞0，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用f′（x）=ax²+4（a-1），求解不等式，得出當a≥1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間（0，2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$）上單調遞減，在區(qū)間（2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，∞）上單調遞增．
（2）根據(jù)前面的做的可以得出當a≥1時，f′（x）≥0，此時f（x）不存在極值點，可以排除，因而要使得f（x）有兩個極值點，必有0＜a＜1．f（x）的極值點只可能是x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$和x₂=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，易知，x₁，x₂分別是f（x）的極小值點和極大值點．
把g（x₁）+g（x₂）具體表示出來，令2a-1=x．由0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$知，轉化為h（x）=lnx²+$\frac{2}{x}$-2．再利用導數(shù)，分類判斷求解．

解答 解：（1）f′（x）=ax²+4（a-1），
當a≥1時，f′（x）＞0，
此時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．
當0＜a＜1時，由f′（x）=0（*）得
x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$＞0，x₂=-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$
當x∈（0，x₁）時，f′（x）＜0；
當x∈（x₁，+∞）時，f′（x）＞0．
故f（x）在區(qū)間（0，x₁）上單調遞減，
在區(qū)間（x₁，+∞）上單調遞增．
綜上所述：
當a≥1時，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增；
當0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間（0，2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$）上單調遞減，
在區(qū)間（2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，∞）上單調遞增．
（2）由（*）式知，當a≥1時，f′（x）≥0，此時f（x）不存在極值點，
因而要使得f（x）有兩個極值點，必有0＜a＜1．
又f（x）的極值點只可能是x₁=2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$和x₂=-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
且由f（x）的定義可知，x＞-$\frac{1}{a}$且x≠-2，
所以2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$＞-$\frac{1}{a}$，-2$\frac{\sqrt{a（1-a）}}{a}$≠-2，a∈（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，1）
此時，由（*）式易知，x₁，x₂分別是f（x）的極小值點和極大值點．
而g（x₁）+g（x₂）=ln（1+ax₁）-$\frac{2x1}{x1+2}$+ln（1+ax₂）-$\frac{2x2}{x2+2}$
=ln[1+a（x₁+x₂）+a²x₁x₂]-$\frac{4x1x2+4（x1+x2）}{x1x2+2（x1+x2）+4}$
=ln（2a-1）²-$\frac{4（a-1）}{2a-1}$=ln（2a-1）²+$\frac{2}{2a-1}$-2．
令2a-1=x．由0＜a＜1且a≠$\frac{1}{2}$知，
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，-1＜x＜0；當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，0＜x＜1．
記h（x）=lnx²+$\frac{2}{x}$-2．
①當-1＜x＜0時，h（x）=2ln（-x）+$\frac{2}{x}$-2，
設題t=-x∈（0，1），h（x）=φ（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-2，
φ′（t）=$\frac{2}{t}$$+\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴φ（t）=2lnt-$\frac{2}{t}$-2，是單調遞增函數(shù)，
φ（t）＜φ（1）=-4＜0
從而h（x）＜-4＜0．
故當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，g（x₁）+g（x₂）＜0．
不合題意，舍去
②當0＜x＜1時，h（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，
所以h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{x2}$=$\frac{2x-2}{x2}$＜0，
因此，h（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，
從而h（x）＞h（1）=0．故當$\frac{1}{2}$＜a＜1時，g（x₁）+g（x₂）＞0．
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，1）

點評 本題綜合考察了函數(shù)的性質，導數(shù)在求解函數(shù)極值，借助分類討論判斷單調性，多次構造函數(shù)判斷求解，思路要清晰，難度較大，屬于難題．