Question

3．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于（1，0）對稱；②對于x∈R，$f（\frac{3}{4}-x）=f（\frac{3}{4}+x）$；③當(dāng)$x∈（-\frac{3}{2}，-\frac{3}{4}]$時，f（x）=log₂（-3x+1），則f（2012）=2．

Answer 1

分析 由于函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，可得f（x）為奇函數(shù)，由②得出f（3+x）=f（x），f（x）是周期為3的周期函數(shù)．再結(jié)合③即可求出f（2012）的值．

解答 解：由于函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱，故可得f（1+x-1）+f（1-x-1）=0，
即f（x）=-f（-x）對任何x都成立，即f（x）為奇函數(shù)．
由②得出f（-x）=f（$\frac{3}{2}$+x）∴f（$\frac{3}{2}$+x）=-f（x），
∴f（3+x）=f（x），f（x）是周期為3的周期函數(shù)．
則f（2012）=f（2）=f（-1）=log₂4=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的對稱性與周期性的性質(zhì)，知識性較強(qiáng)．解答的關(guān)鍵是由函數(shù)的對稱性得出函數(shù)的周期性，屬于中檔題．