Question

18．函數(shù)f（x）=e^x+x²+2x+1的圖象上任意點(diǎn)P到直線3x-y-2=0的距離的最小值為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{10}}}{20}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 f′（x）=e^x+2x+2，設(shè)與直線3x-y-2=0平行且與曲線f（x）相切于點(diǎn)Q（s，t）的直線方程為：3x-y+m=0，則e^s+2s+2=3．解得s=0，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可．

解答 解：f′（x）=e^x+2x+2，
設(shè)與直線3x-y-2=0平行且與曲線f（x）相切于點(diǎn)P（s，t）的直線方程為：3x-y+m=0，
則e^s+2s+2=3．解得s=0．
∴切點(diǎn)為P（0，2），
∴曲線f（x）=e^x+x²+x+1上的點(diǎn)到直線3x-y-2=0的距離的最小值為點(diǎn)Q到直線3x-y-2=0的距離d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題